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RSA算法原理(二)

2013-09-10 来源:科学松鼠会 已有1931人阅读

关键字:趣味数学   RSA算法原理   

   作者: 阮一峰

  上一次,我介绍了一些数论知识。

  有了这些知识,我们就可以看懂RSA算法。这是目前地球上最重要的加密算法。

  

 

  六、密钥生成的步骤

  我们通过一个例子,来理解RSA算法。假设爱丽丝要与鲍勃进行加密通信,她该怎么生成公钥和私钥呢?

  

 

  第一步,随机选择两个不相等的质数p和q。

  爱丽丝选择了61和53。(实际应用中,这两个质数越大,就越难破解。)

  第二步,计算p和q的乘积n。

  爱丽丝就把61和53相乘。

  n = 61×53 = 3233

  n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001,一共有12位,所以这个密钥就是12位。实际应用中,RSA密钥一般是1024位,重要场合则为2048位。

  第三步,计算n的欧拉函数φ(n)。

  根据公式:

  φ(n) = (p-1)(q-1)

  爱丽丝算出φ(3233)等于60×52,即3120。

  第四步,随机选择一个整数e,条件是1< e < φ(n),且e与φ(n) 互质。

  爱丽丝就在1到3120之间,随机选择了17。(实际应用中,常常选择65537。)

  第五步,计算e对于φ(n)的模反元素d。

  所谓"模反元素"就是指有一个整数d,可以使得ed被φ(n)除的余数为1。

  ed ≡ 1 (mod φ(n))

  这个式子等价于

  ed - 1 = kφ(n)

  于是,找到模反元素d,实质上就是对下面这个二元一次方程求解。

  ex + φ(n)y = 1

  已知 e=17, φ(n)=3120,

  17x + 3120y = 1

  这个方程可以用"扩展欧几里得算法"求解,此处省略具体过程。总之,爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15),即 d=2753。

  至此所有计算完成。

  第六步,将n和e封装成公钥,n和d封装成私钥。

  在爱丽丝的例子中,n=3233,e=17,d=2753,所以公钥就是 (3233,17),私钥就是(3233, 2753)。

  实际应用中,公钥和私钥的数据都采用ASN.1格式表达(实例)。

  七、RSA算法的可靠性

  回顾上面的密钥生成步骤,一共出现六个数字:

  p

  q

  n

  φ(n)

  e

  d

  这六个数字之中,公钥用到了两个(n和e),其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d,因为n和d组成了私钥,一旦d泄漏,就等于私钥泄漏。

  那么,有无可能在已知n和e的情况下,推导出d?

  (1)ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n),才能算出d。

  (2)φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q,才能算出φ(n)。

  (3)n=pq。只有将n因数分解,才能算出p和q。

  结论:如果n可以被因数分解,d就可以算出,也就意味着私钥被破解。

  可是,大整数的因数分解,是一件非常困难的事情。目前,除了暴力破解,还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道:

  "对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之,对一极大整数做因数分解愈困难,RSA算法愈可靠。

  假如有人找到一种快速因数分解的算法,那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止,世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。

  只要密钥长度足够长,用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。"

  举例来说,你可以对3233进行因数分解(61×53),但是你没法对下面这个整数进行因数分解。

  12301866845301177551304949

  58384962720772853569595334

  79219732245215172640050726

  36575187452021997864693899

  56474942774063845925192557

  32630345373154826850791702

  61221429134616704292143116

  02221240479274737794080665

  351419597459856902143413

  它等于这样两个质数的乘积:

  33478071698956898786044169

  84821269081770479498371376

  85689124313889828837938780

  02287614711652531743087737

  814467999489

  ×

  36746043666799590428244633

  79962795263227915816434308

  76426760322838157396665112

  79233373417143396810270092

  798736308917

  事实上,这大概是人类已经分解的最大整数(232个十进制位,768个二进制位)。比它更大的因数分解,还没有被报道过,因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。

  八、加密和解密

  有了公钥和密钥,就能进行加密和解密了。

  (1)加密要用公钥 (n,e)

  假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m,他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意,m必须是整数(字符串可以取ascii值或unicode值),且m必须小于n。

  所谓"加密",就是算出下式的c:

  me ≡ c (mod n)

  爱丽丝的公钥是 (3233, 17),鲍勃的m假设是65,那么可以算出下面的等式:

  6517 ≡ 2790 (mod 3233)

  于是,c等于2790,鲍勃就把2790发给了爱丽丝。

  (2)解密要用私钥(n,d)

  爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后,就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明,下面的等式一定成立:

  cd ≡ m (mod n)

  也就是说,c的d次方除以n的余数为m。现在,c等于2790,私钥是(3233, 2753),那么,爱丽丝算出

  27902753 ≡ 65 (mod 3233)

  因此,爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。

  至此,"加密--解密"的整个过程全部完成。

  我们可以看到,如果不知道d,就没有办法从c求出m。而前面已经说过,要知道d就必须分解n,这是极难做到的,所以RSA算法保证了通信安全。

  你可能会问,公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m,那么如果要加密大于n的整数,该怎么办?有两种解决方法:一种是把长信息分割成若干段短消息,每段分别加密;另一种是先选择一种"对称性加密算法"(比如DES),用这种算法的密钥加密信息,再用RSA公钥加密DES密钥。

  九、私钥解密的证明

  最后,我们来证明,为什么用私钥解密,一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子:

  cd ≡ m (mod n)

  因为,根据加密规则

  me ≡ c (mod n)

  于是,c可以写成下面的形式:

  c = me - kn

  将c代入要我们要证明的那个解密规则:

  (me - kn)d ≡ m (mod n)

  它等同于求证

  med ≡ m (mod n)

  由于

  ed ≡ 1 (mod φ(n))

  所以

  ed = hφ(n)+1

  将ed代入:

  mhφ(n)+1 ≡ m (mod n)

  接下来,分成两种情况证明上面这个式子。

  (1)m与n互质。

  根据欧拉定理,此时

  mφ(n) ≡ 1 (mod n)

  得到

  (mφ(n))h × m ≡ m (mod n)

  原式得到证明。

  (2)m与n不是互质关系。

  此时,由于n等于质数p和q的乘积,所以m必然等于kp或kq。

  以 m = kp为例,考虑到这时k与q必然互质,则根据欧拉定理,下面的式子成立:

  (kp)q-1 ≡ 1 (mod q)

  进一步得到

  [(kp)q-1]h(p-1) × kp ≡ kp (mod q)

  即

  (kp)ed ≡ kp (mod q)

  将它改写成下面的等式

  (kp)ed = tq + kp

  这时t必然能被p整除,即 t=t\'p

  (kp)ed = t\'pq + kp

  因为 m=kp,n=pq,所以

  med ≡ m (mod n)

  原式得到证明。

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