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做一名风中的大侠,你要知道啥?

2013-10-12 来源:科学松鼠会 已有1553人阅读

关键字:趣味数学   风中的大侠   

  假如你是一名大侠,为了维护自己的江湖地位,在寒风中和另一名大侠约战紫禁之巅。一切看上去都很飘逸,你的造型和动作也早已练得很潇洒。但死理性派提醒你,风大,小心冷。一阵风来,冻得浑身哆嗦,未免有失大侠风范。

  大侠们可能都会诧异,就是因为穿的少,特地看了天气预报选了一个温度并不低的时间决战,怎么出门这么冷?到底是天气预报不准还是自我感觉出了问题呢?其实,天气预报和大侠们自己的感觉都没有错。

  风吹到脸上到底有多冷

  在有风的时候,如果空气温度比我们体表温度低,运动速度越快的冷空气通过热对流从我们身上带走的热量就越多。因此,即使气温并不算低,风很大的话我们还是会觉得冷,这时我们的感受可以称为感觉温度(也叫做风寒指数,wind chill factor),代表我们在无风情况下会有同等感受的空气温度。

  数学杂志 Mathematics Today 在 2011 年 12 月份的刊登了一篇文章[1],作者 Townie 对这个问题就进行了简单的分析。他计算出在空气温度为 0 ℃ 时,感觉温度随着风速变化如下图所示:

  

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  上图横坐标表示的风速都比较大,气象学家常用的风速指的是离地面 10 米处的数值。而实际计算中,用这个数值的 2/3 来估计人头部的风速的[1][3]。从图上可以看到,风的速度越大,感觉到的温度越低。刮 6 级以上的风(大于 40 km/h )[4],感觉到的温度比空气的温度( 0 ℃ )要低 10 ℃ 以上。

  感觉温度是怎样计算的

  这是怎么算出来的?不妨让我们来看看其中的道理。人体的头部一般暴露在外,更容易感到寒冷,为了简化问题, Townie 只考虑头部失去的热量,并将头部简化为直径 15 厘米的球体。尽管人的头有大有小,但这个简化结果的基本数量级是没错的。我们在中学物理里学过,热传递有 3 种方式:热传导,热对流,热辐射。 Townie 忽略了人体向周围发出的热辐射,选择用牛顿冷却定律来估算热量的损失速度。在稳定的情况下,人体表面温度恒定,牛顿冷却定律可以表达为:

  

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  其中 q 表示单位面积的皮肤在单位时间内失去的热量, h 是热传导系数, T s 表示头部表面皮肤的温度, T a 是空气的实际温度。皮肤的温度基本上恒定,一般比体内温度稍低一点,大概是 33 ℃ ~ 34℃的样子,我们对外界温度的感觉和 q 有关, q 越大,说明热量失去的越快,我们也就越觉得冷。

  在这里,热导系数 h 和空气相对人运动的速度有关,假设某个速度下求出的热导系数记做 h fc ,那么在这个速度下,单位面积失去热量的速度是

  

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  在没有风的时候,热导系数 h calm 要比 h fc 小一些,这样,要得到同样的热量损失,需要的外界温度 T wc 就相应的要低一些,对应的公式为

  

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  注意,这里的 T wc 就是我们感觉到的温度。对上面两个公式进行适当的整理,可以得到

  

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  由此可见,问题的关键在于推导或者测量出有风和无风时空气热导系数的比值。

  如何求出热导系数比值

  如何求出这两个热导系数的比值,真要靠测量吗?不需要。由于这个问题涉及到空气(一种流体)的运动和导热,因此热导系数的比值可以根据流体力学的理论来估计。一般流体力学涉及到的物理量比较多,这些物理量可以构成许多无量纲的数字,能够表征在不同问题里什么影响因素更重要。

  在流体力学里经常见到的一个数字叫做雷诺数(Reynolds),Re = ρvD/μ。 μ 是流体的粘滞系数,ρ 是流体的密度, v 是流体的速度, D 是问题涉及到的尺度大小[2],具体到本文所述的问题就是头部的直径。雷诺数给出了流体运动过程中,流体的惯性力和粘滞力的比值。当雷诺数比较大时,流体流动较不稳定,比如小溪里面的水流,这时可以将系统近似为非粘性流体,忽略掉液体的粘性;而雷诺数比较小时,流体流动稳定,比如室温下粘稠蜂蜜的运动,则可以近似地将惯性力忽略掉。 Townie 参考了这些知识,得到公式

  

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  Nu ( Nusselt 数)包含了热传导系数 h,它和 Re 、 Pr ( Prandtl 数)都是流体力学里面的无量纲数,根据这个数我们就能得出有风和无风时空气热导系数比值。这里就不仔细介绍各个无量纲数的含义了,有兴趣的读者可以自行学习。据此,Townie 就得到了文章开头给出的结果。

  更精确的经验公式

  当然,要说的是 Townie 的计算还比较粗略,其中用了很多的近似和假设,得到的结果在数量级上是对的,但并不精确。气象学家通常用的是通过人体实验和数据修正总结来的经验公式,如果温度 T 以摄氏度为单位,风的速度 V 以千米每小时为单位,那么感觉温度可以表达为[3]:

  

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  细心的读者会注意到公式里如果取 T = 0,在 V = 0 的情况下得到的感觉温度不是 0。这是因为这个公式是经验拟合公式,只在一定的速度范围内适用,超出这个范围得到的结果就不那么精确你。而且,在实际计算中,“无风”的情况下用的速度 V 不是0,而是 4.8km/h ( 3 英里每小时),代表的是人在无风的情况下行走的速度。

  Townie比较了这个经验公式的结果和用前面我们介绍的方法估计的结果。在空气温度是 0℃ 和 -15℃ 的情况下,两种方法计算出的感觉温度如下图所示

  

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  可以看出, Townie 方法的估计结果(红色线段)和经验公式(蓝色线段)给出的结果还是比较接近的,随着风速的增加,都比空气温度(虚线)低出几摄氏度甚至十几摄氏度。单看经验公式的结果,在温度比较低的时候(比如 -15℃ ),感觉温度随着风速的增加,降低的更快,也就更冷。

  最后要说明一下,本文只考虑了暴露在外的头部而没有考虑有衣服包裹的躯干部分。因为衣服包裹的地方散量流失的就会慢很多,尤其是像厚羽绒服或者冲锋衣那种衣服,相当于在皮肤和空气之间放了一层厚厚的隔热层,热量的流失会更小,身体表面的温度会和体温很接近。所以,讨论感觉温度就要讨论裸露在外的头部等部位。

  了解到这些,你是不是觉得做一名大侠其实也挺不容易的?

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